數學(xué)神童

　　歷史上間或出現神童。神童常常出現在數學(xué)、音樂(lè )、棋藝等方面?？枴じ?p>　　雷德里?！じ咚?，一位數學(xué)神童，是各式各樣的天才里最出色的一個(gè)。就像獅子

　　號稱(chēng)萬(wàn)獸之王，高斯在數學(xué)家之林中稱(chēng)王，他有一個(gè)美號——數學(xué)王子。高斯不

　　僅被公認為是十九世紀最偉大的數學(xué)家，并且與阿基米德、牛頓并稱(chēng)為歷史上三

　　個(gè)最偉大的數學(xué)家?，F在阿基米德和牛頓的名字早已進(jìn)入了中學(xué)的教科書(shū)，他們

　　的工作或多或少成為大眾的常識，而高斯和他的數學(xué)仍遙不可及，甚至于在大學(xué)

　　的基礎課程中也不出現。但高斯的肖像畫(huà)卻赫然印在10馬克——流通最廣泛的德

　　國紙幣上，相應地出現在美元和英鎊上的分別是喬治·華盛頓和伊麗莎白二世。

　　1777年4月30日，高斯出生在德國下薩克森洲的不倫瑞克（Braunscheig

　?。?，他的祖先里沒(méi)有一個(gè)人可以說(shuō)明為什么會(huì )產(chǎn)生高斯這樣的天才。高斯的父

　　親是個(gè)普通的勞動(dòng)者，做過(guò)石匠、纖夫、花農，母親是他父親的第二個(gè)妻子，當

　　過(guò)女仆，沒(méi)有受過(guò)什么教育，但她聰明善良，有幽默感，并且個(gè)性很強，她以97

　　歲高壽仙逝，高斯是她的獨養兒子。據說(shuō)高斯3歲時(shí)就發(fā)現父親帳簿上的一處錯

　　誤。高斯9歲那年在公立小學(xué)讀書(shū)，一次他的老師為了讓學(xué)生們有事干，叫他們

　　把從1到100這些數加起來(lái)，高斯幾乎立刻就把寫(xiě)好結果的石板面朝下放在自己的

　　桌子上，當所有的石板最終被翻過(guò)時(shí)，這位老師驚訝地發(fā)現只有高斯得出了正確

　　的答案：5050，但是沒(méi)有演算過(guò)程。高斯已經(jīng)在腦子里對這個(gè)算術(shù)級數求了和，

　　他注意到了1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……這么一來(lái)，就等于50個(gè)

　　101相加，從而答案是5050。高斯在晚年常幽默地宣稱(chēng)，在他會(huì )說(shuō)話(huà)之前就會(huì )計

　　算，還說(shuō)他問(wèn)了大人字母如何發(fā)音，就自己學(xué)著(zhù)讀起書(shū)來(lái)。

　　高斯的早熟引起了不倫瑞克公爵的注意，這位公爵是個(gè)熱心腸的贊助人。高

　　斯14歲進(jìn)不倫瑞克學(xué)院，18歲入哥廷根大學(xué)。當時(shí)的哥廷根仍默默無(wú)聞，由于高

　　斯的到來(lái)，才使得這所日后享譽(yù)世界的大學(xué)變得重要起來(lái)。起初，高斯在做個(gè)語(yǔ)

　　言學(xué)家抑或數學(xué)家之間猶豫不決，他決心獻身數學(xué)是1796年3月30日的事了。當

　　他差一個(gè)月滿(mǎn)19歲時(shí)，他對正多邊形的歐幾里德作圖理論（只用圓規和沒(méi)有刻度

　　的直尺）做出了驚人的貢獻，尤其是，發(fā)現了作正十七邊形的方法，這是一個(gè)有

　　著(zhù)二千多年歷史的數學(xué)懸案。高斯初出茅廬，就已經(jīng)爐火純青了，而且以后的五

　　十年間他一直維持這樣的水準。高斯所處的時(shí)代，正是德國浪漫主義盛行的時(shí)代。

　　高斯受時(shí)尚的影響，在其私函和講述中，充滿(mǎn)了美麗的詞藻。高斯說(shuō)過(guò)：“數學(xué)

　　是科學(xué)的皇后，而數論是數學(xué)的女王?！蹦莻€(gè)時(shí)代的人也都稱(chēng)高斯為“數學(xué)王

　　子”。事實(shí)上，縱觀(guān)高斯整個(gè)一生的工作，似乎也帶有浪漫主義的色彩。

　　對自然數的迷戀

　　數論是最古老的數學(xué)分支之一，主要研究自然數的性質(zhì)和相互關(guān)系。從畢達

　　哥拉斯時(shí)代人們就沉湎于發(fā)現數的神秘關(guān)系之中，優(yōu)美、簡(jiǎn)潔、智慧是這門(mén)科學(xué)

　　的特點(diǎn)。就像其他數學(xué)神童一樣，高斯首先迷戀上的也是自然數。高斯在1808年

　　談到：“任何一個(gè)花過(guò)一點(diǎn)功夫研習數論的人，必然會(huì )感受到一種特別的激情與

　　狂熱?！爆F代數學(xué)最后一個(gè)“百事通”——大衛·希爾伯特的傳記作者在談到大

　　師放下代數不變量理論轉向數論研究時(shí)指出：“數學(xué)中沒(méi)有一個(gè)領(lǐng)域能夠象數論

　　那樣，以它的美——一種不可抗拒的力量，吸引著(zhù)數學(xué)家中的精華?！碑?huà)家瓦西

　　里·康定斯基也認為：“數是各類(lèi)藝術(shù)最終的抽象表現?！蔽易⒁獾揭恍┎辉?p>　　究過(guò)數論的偉大數學(xué)家，如帕斯卡爾、笛卡爾、牛頓和萊布尼茲，他們都把后半

　　生的精力奉獻給了哲學(xué)或宗教，唯獨費爾馬、歐拉和高斯這三位對數論有著(zhù)杰出

　　貢獻的數學(xué)家，卻終其一生都不需要任何哲學(xué)和宗教，因為他們心中已經(jīng)有了最

　　純粹、最本質(zhì)的藝術(shù)——數論。

　　這里我想引用印度數學(xué)天才拉曼紐揚的故事來(lái)說(shuō)明數論學(xué)者與自然數的“情

　　誼”，這位泰戈爾的同胞來(lái)自印度最南端的泰米爾納德邦，是個(gè)貧窮的辦事員，

　　從沒(méi)有受過(guò)高等教育，但他具有快速并且深刻地看出復雜的數的關(guān)系的驚人才華。

　　著(zhù)名的英國數學(xué)家G·H·哈代在1913年“發(fā)現”了他，并于次年把他邀請到英國，

　　入劍橋大學(xué)。哈代有一次去探望病中的拉曼紐揚時(shí)對他講，自己剛才乘坐的出租

　　汽車(chē)車(chē)號1729似乎沒(méi)有什么意義，但愿它不是一個(gè)不祥的預兆。拉曼紐揚卻回答：

　　“不，這是一個(gè)很有意思的數，1729是可以用兩種方式表示成兩個(gè)自然數立方和

　　的最小的數（既等于1的三次方加上12的三次方，又等于9的三次方加上10的三次

　　方）。哈代又問(wèn)，那么對于四次方來(lái)說(shuō)，這個(gè)最小數是多少呢？拉曼紐揚想了想，

　　回答說(shuō)：“這個(gè)數很大，答案是635318657?！保鹊扔?9的四次方加上158的四

　　次方，又等于133的四次方加上134的四次方）

　　《算術(shù)研究》：數論的法典

　　1801年，年僅24歲的高斯出版了《算術(shù)研究》，從而開(kāi)創(chuàng )了現代數論的新紀

　　元。書(shū)中出現了有關(guān)正多邊形的作圖，方便的同余記號以及優(yōu)美的二次互反律的

　　首次證明等。這部偉大的著(zhù)作曾經(jīng)寄到法國科學(xué)院而被拒絕，但高斯自己把它發(fā)

　　表了。和高斯的前期作品一樣，它是用拉丁文寫(xiě)的，這是當時(shí)科學(xué)界的世界語(yǔ)，

　　然而由于受十九世紀初國家主義的影響，高斯后來(lái)改用德文寫(xiě)作。如果他和其他

　　研究者堅持使用拉丁文，也許今日我們就可以免除語(yǔ)言上的困擾了。在那個(gè)世紀

　　的末端，集合論的創(chuàng )始人康托這樣評價(jià)：

　　《算術(shù)研究》是數論的憲章。高斯總是遲遲不肯發(fā)表他的著(zhù)作，這給科學(xué)帶

　　來(lái)的好處是，他付印的著(zhù)作在今天仍然像第一次出版時(shí)一樣正確和重要，他的出

　　版物就是法典。比人類(lèi)其它法典更高明，因為不論何時(shí)何地從未發(fā)覺(jué)出其中有任

　　何一處毛病，這就可以理解高斯暮年談到他青年時(shí)代第一部巨著(zhù)時(shí)說(shuō)的話(huà)：

　　“《算術(shù)研究》是歷史的財富?！彼敃r(shí)的得意心情是頗有道理的。

　　關(guān)于《算術(shù)研究》，還流傳著(zhù)這樣一個(gè)故事，1849年7月16日，哥廷根大學(xué)

　　為高斯獲得博士學(xué)位五十周年舉行慶祝會(huì )。當進(jìn)行到某一程序時(shí)，高斯準備用

　　《算術(shù)研究》的一張原稿點(diǎn)煙，當時(shí)在場(chǎng)的數學(xué)家狄里克雷（后來(lái)繼承了高斯的

　　職位），像見(jiàn)到瀆圣行為一樣吃了一驚，他立刻冒失地從高斯手中搶下這一頁(yè)紙，

　　并一生珍藏它；他的編輯者在他死后從他的論文中間找到了這張原稿。

　　和藝術(shù)家一樣，高斯希望他留下的都是十全十美的藝術(shù)珍品，任何絲毫的改

　　變都將破壞其內部的均衡。他常說(shuō)：“當一幢建筑物完成時(shí)，應該把腳手架拆除

　　干凈?！备咚箤τ趪烂苄缘囊笠卜浅？量?，使得一個(gè)定理從直覺(jué)的形式到完整

　　的數學(xué)證明，中間有一段很長(cháng)的過(guò)程。此外，高斯十分講究組織結構，他希望在

　　每一個(gè)領(lǐng)域中，都能樹(shù)立起一致而普遍的理論，從而將不同的定理聯(lián)系起來(lái)。鑒

　　于上述原因，高斯很不樂(lè )意公開(kāi)發(fā)表他的東西。他的著(zhù)名的警句是：寧肯少些，

　　但要成熟。為此，高斯付出了高昂的代價(jià)，包括把非歐幾何學(xué)和最小二乘法的發(fā)

　　明權讓給了羅巴切夫斯基、鮑耶和勒讓德，就如同費爾馬把解析幾何和微積分的

　　發(fā)明權讓給了笛卡爾和牛頓、萊布尼茲。

　　從做出有關(guān)正多邊形發(fā)現的那天起，高斯開(kāi)始了著(zhù)名的數學(xué)日記，他以密碼

　　式的文字記載下許多偉大的數學(xué)發(fā)現。高斯的這本日記直到1898年才被找到，它

　　包括146條很短的注記，其中有數值計算結果，也有簡(jiǎn)單的數學(xué)定理。例如，關(guān)

　　于正多邊形作圖問(wèn)題，高斯在日記中寫(xiě)到：

　　圓的分割定律，如何以幾何方法將圓十七等分。

　　又如1796年7月10日的記載，

　　num＝△＋△＋△

　　意指“每個(gè)自然數都是三個(gè)三角形數之和”。就像莫扎特一樣，高斯年輕時(shí)

　　候風(fēng)起云涌的奇思妙想使他來(lái)不及做完一件事，另一件又出現了。

　　多才多藝

　　高斯不僅是數學(xué)家，還是那個(gè)時(shí)代最偉大的物理學(xué)家和天文學(xué)家之一。在

　　《算術(shù)研究》問(wèn)世的同一年，即1801年的元旦，一位意大利天文學(xué)家在西西里島

　　觀(guān)察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移動(dòng)，這顆現在被稱(chēng)作谷神星

　?。–eres）的小行星在天空出現了41天，掃過(guò)八度角之后，就在太陽(yáng)的光芒下

　　沒(méi)了蹤影。當時(shí)天文學(xué)家無(wú)法確定這顆新星是彗星還是行星，這個(gè)問(wèn)題很快成了

　　學(xué)術(shù)界關(guān)注的焦點(diǎn)，甚至成了哲學(xué)問(wèn)題。黑格爾就曾寫(xiě)文章嘲諷天文學(xué)家說(shuō)，不

　　必那么熱衷去找尋第八顆行星，他認為用他的邏輯方法可以證明太陽(yáng)系的行星，

　　不多不少正好是七顆。高斯也對這顆星著(zhù)了迷，他利用天文學(xué)家提供的觀(guān)測資料，

　　不慌不忙地算出了它的軌跡。不管黑格爾有多么不高興，幾個(gè)月以后，這顆最早

　　發(fā)現迄今仍是最大的小行星準時(shí)出現在高斯指定的位置上。自那以后，小行星、

　　大行星（海王星和冥王星）接二連三地被發(fā)現了。

　　在物理學(xué)方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理學(xué)家韋伯發(fā)明了有線(xiàn)

　　電報，這使高斯的聲望超出了學(xué)術(shù)圈而進(jìn)入公眾社會(huì )。除此以外，高斯在力學(xué)、

　　測地學(xué)、水工學(xué)、電動(dòng)學(xué)、磁學(xué)和光學(xué)等方面均有杰出的貢獻。即使是數學(xué)方面，

　　我們談到的也只是他年輕時(shí)候在數論領(lǐng)域里所做的一小部分工作，在他漫長(cháng)的一

　　生中，他幾乎在數學(xué)的每個(gè)領(lǐng)域都有開(kāi)創(chuàng )性的工作。例如，在他發(fā)表了《曲面論

　　上的一般研究》之后大約一個(gè)世紀，愛(ài)因斯坦評論說(shuō)：“高斯對于近代物理學(xué)的

　　發(fā)展，尤其是對于相對論的數學(xué)基礎所作的貢獻（指曲面論），其重要性是超越

　　一切，無(wú)與倫比的?！?p>　　高處不勝寒

　　在高斯的時(shí)代，幾乎找不到什么人能夠分享他的想法或向他提供新的觀(guān)念。

　　每當他發(fā)現新的理論時(shí)，他沒(méi)有人可以討論。這種孤獨的感覺(jué)，經(jīng)年累月積存下

　　來(lái)，就造成他高高在上、冷若冰霜的心境了。這種智慧上的孤獨，在歷史上只有

　　很少幾個(gè)偉人感受過(guò)。高斯從不參加公開(kāi)爭論，他對辯論一向深?lèi)和唇^，他認為

　　那很容易演變成愚蠢的喊叫，這或許是他從小對粗暴專(zhuān)制的父親一種心理上的反

　　抗。高斯成名后很少離開(kāi)過(guò)哥廷根，他曾多次拒絕柏林、圣彼德堡等地科學(xué)院的

　　邀請。高斯甚至厭惡教學(xué)，也不熱衷于培養和發(fā)現年輕人，自然就談不上創(chuàng )立什

　　么學(xué)派，這主要是由于高斯天賦之優(yōu)異，因而心靈上離群索居?？蛇@不等于說(shuō)高

　　斯沒(méi)有出類(lèi)拔萃的學(xué)生，黎曼、狄里克雷都堪稱(chēng)偉大的數學(xué)家，戴特金和艾森斯

　　坦也對數學(xué)作出了杰出貢獻。但是由于高斯的登峰造極，在這幾個(gè)人中，也只有

　　黎曼（在狄里克雷死后繼承了高斯的職位）被認為和高斯比較親近。

　　和高斯同時(shí)代的偉大數學(xué)家雅可比和阿貝爾都抱怨高斯漠視了他們的成就。

　　雅可比是個(gè)很有思想的人，他有一句流傳至今的名言：“科學(xué)的唯一目的是為人

　　類(lèi)的精神增光”。他是高斯的同胞，又是狄里克雷的丈人，但他一直沒(méi)能和高斯

　　攀上親密的友情。在1849年哥廷根那次慶祝會(huì )上，從柏林趕來(lái)的雅可比坐在高斯

　　身旁的榮譽(yù)席上，當他想找話(huà)題談數學(xué)時(shí)，高斯不予理睬，這可能是時(shí)機不對，

　　當時(shí)高斯幾杯甜酒下肚，有點(diǎn)不能自制；但即使換個(gè)場(chǎng)合，結果恐怕也是一樣。

　　在給他兄弟論及該宴會(huì )的一封信中，雅克比寫(xiě)到，“你要知道，在這二十年里，

　　他（高斯）從未提及我和狄里克雷……”

　　阿貝爾的命運很慘，他與后來(lái)的同胞易卜生、格里格和蒙克一樣，是在自己

　　領(lǐng)域里唯一取得世界性成就的挪威人。他是一個(gè)偉大的天才，卻過(guò)著(zhù)貧窮的生活，

　　毫無(wú)同時(shí)代人的了解。阿貝爾20歲時(shí)，解決了數學(xué)史上的一個(gè)大問(wèn)題，即證明了

　　用根式解一般五次方程的不可能性，他將短短六頁(yè)“不可解”的證明寄給歐洲一

　　些著(zhù)名的數學(xué)家，高斯自然也收到了一份。阿貝爾在引言中滿(mǎn)懷信心，以為數學(xué)

　　家們會(huì )親切地接受這篇論文。不久，鄉村牧師的兒子阿貝爾開(kāi)始了他一生唯一的

　　一次遠足，當時(shí)他想以這篇文章作敲門(mén)磚。阿貝爾此行最大的愿望就是拜訪(fǎng)高斯，

　　但高斯高不可攀，只是將論文瞄了幾行，便把它丟在一旁，仍然專(zhuān)心于自己的研

　　究工作。阿貝爾只得在從巴黎去往柏林的旅途中，以漸增的痛苦繞過(guò)哥廷根。

　　高斯雖然孤傲，但令人驚奇的是，他春風(fēng)得意地度過(guò)了中產(chǎn)階級的一生，而

　　沒(méi)有遭受到冷酷現實(shí)的打擊；這種打擊常無(wú)情地加諸于每個(gè)脫離現實(shí)環(huán)境生活的

　　人?；蛟S高斯講求實(shí)效和追求完美的性格，有助于讓他抓住生活中的簡(jiǎn)單現實(shí)。

　　高斯22歲獲博士學(xué)位，25歲當選圣彼德堡科學(xué)院外籍院士，30歲任哥廷根大學(xué)數

　　學(xué)教授兼天文臺臺長(cháng)。雖說(shuō)高斯不喜歡浮華榮耀，但在他成名后的五十年間，這

　　些東西就像雨點(diǎn)似的落在他身上，幾乎整個(gè)歐洲都卷入了這場(chǎng)授獎的風(fēng)潮，他一

　　生共獲得75種形形色色的榮譽(yù)，包括1818年英王喬治三世賜封的“參議員”，

　　1845年又被賜封為“首席參議員”。高斯的兩次婚姻也都非常幸福，第一個(gè)妻子

　　死于難產(chǎn)后，不到十個(gè)月，高斯又娶了第二個(gè)妻子。心理學(xué)和生理學(xué)上有一個(gè)常

　　見(jiàn)的現象，婚姻生活過(guò)得幸福的人，常在喪偶之后很快再婚，一生赤貧的音樂(lè )家

　　約翰·塞巴斯蒂安·巴赫也是這樣。

　　一個(gè)偉大的文化結晶

　　高斯始終沒(méi)有忘記不倫瑞克公爵的恩情，他一直對他的贊助人在1806年慘死

　　在拿破侖手下這件事耿耿于懷，因而拒不接受法國大革命的信條和由此引發(fā)的民

　　主思潮的影響，他的學(xué)生都稱(chēng)他為保守派。從這點(diǎn)來(lái)看，高斯可以說(shuō)是貴族專(zhuān)制

　　社會(huì )體系中最后一個(gè)——也是最偉大的一個(gè)——文化結晶。高斯很喜歡文學(xué)，他

　　把歌德的作品遍覽無(wú)遺，卻不怎么推崇。由于與生俱來(lái)的語(yǔ)言特長(cháng)，使高斯閱讀

　　外文得心應手。他精通英語(yǔ)、法語(yǔ)、俄語(yǔ)、丹麥語(yǔ)，對意大利語(yǔ)、西班牙語(yǔ)和瑞

　　典語(yǔ)也略知一二，他的私人日記是用拉丁文寫(xiě)的。高斯50歲時(shí)，又開(kāi)始學(xué)習俄語(yǔ)，

　　部分原因是為了閱讀年輕的詩(shī)人普希金的原作。不過(guò)，高斯的語(yǔ)言天賦在數學(xué)家

　　中并不算最突出的，使愛(ài)爾蘭人在數學(xué)領(lǐng)域享有盛譽(yù)的神童哈密爾頓，他在13歲

　　的時(shí)候就能夠流利地講13種外語(yǔ)。高斯愛(ài)看蒙田、盧梭等人的作品，卻不怎么喜

　　歡莎士比亞的悲劇，但他選擇了《李爾王》中的兩行詩(shī)作為自己的座右銘，

　　大自然啊，我的女神，

　　我愿為你獻身，終身不渝。

　　高斯最欽佩的英語(yǔ)作家是司各特，幾乎閱讀了他所有的作品。有一次，高斯

　　在司各特爵士有關(guān)自然景觀(guān)的描述中找到了一個(gè)錯誤（滿(mǎn)月是從西北方向升起來(lái)

　　的），因而狂喜不已。他不僅在自己那本書(shū)上把它糾正過(guò)來(lái)，還跑到哥廷根書(shū)店

　　把其它未售出的書(shū)都改了。

　　和所有偉大的數學(xué)家一樣，抽象符號對高斯來(lái)說(shuō)并非虛幻而不真實(shí)的。有一

　　次他談到：“靈魂的滿(mǎn)足是一種更高的境界，物質(zhì)的滿(mǎn)足是多余的。至于我把數

　　學(xué)應用到幾塊泥巴組成的星球，或應用到純粹數學(xué)的問(wèn)題上，這一點(diǎn)并不重要。

　　但后者常常帶給我更大的滿(mǎn)足?！备咚沟纳眢w一直不錯，在他晚年受到病魔襲擊

　　之前，他一直沒(méi)有在宗教或精神上花時(shí)間。心臟病不斷摧毀他的意志，1848年，

　　高斯寫(xiě)信給他最親密的朋友說(shuō)：“我經(jīng)歷的生活，雖然像一條彩帶飛舞過(guò)整個(gè)世

　　界，但也有其痛苦的一面。這種感受到了年邁的時(shí)候更是不能自持，我樂(lè )于承認，

　　如果換一個(gè)人來(lái)過(guò)我的生活的話(huà)，也許會(huì )快樂(lè )得多。另一方面，這更使我體會(huì )到

　　生命的空虛，每一個(gè)接近生命盡頭的人，都一定會(huì )有這種感覺(jué)……”他又說(shuō)：

　　“有些問(wèn)題，如果能解答的話(huà)，我認為比解答數學(xué)問(wèn)題更有超然的價(jià)值，比如有

　　關(guān)人類(lèi)和神的關(guān)系，我們的歸宿，我們的將來(lái)等等。這些問(wèn)題的解答，遠超出我

　　們能力之所及，也非科學(xué)的范圍內能夠做到?！?855年2月23日清晨，高斯在睡

　　夢(mèng)中平靜地與世長(cháng)辭，享年77歲。他曾經(jīng)要求在他的墓碑上刻一個(gè)正十七邊形，

　　但事與愿違，在不倫瑞克的高斯紀念塔上所刻的是一顆有十七個(gè)角的星，因為雕

　　刻工認為正十七邊形刻出來(lái)后幾乎和圓一模一樣。

　　高斯曾被形容為：“能從九霄云外的高度按照某種觀(guān)點(diǎn)掌握星空和深奧數學(xué)

　　的天才?！彼麑⒆约旱臄捣N天賦——有創(chuàng )造力的直覺(jué)，卓越的計算能力，嚴密的

　　邏輯推理，十全十美的實(shí)驗——和諧地組合在一起，這種能力的組合使得高斯出

　　類(lèi)拔萃，在人類(lèi)歷史上找不到幾個(gè)對手。習慣上只有阿基米德和牛頓與他相提并

　　論，他們都非常多才多藝。以理論家來(lái)說(shuō)，愛(ài)因斯坦也屬同一水準，但他有所限

　　制，因為他不是實(shí)驗家。

　　2001年7月24日中華讀書(shū)報