第一百零五章 魔方矩陣

　　魔方矩陣，又稱(chēng)幻方，縱橫圖。

　　是指由1~N^2共N^2個(gè)數排列成的有相同的行數和列數，并在每行每列、對角線(xiàn)上的和都相等的一個(gè)N階矩陣。

　　在《射雕》中郭黃二人被裘千仞追到黑龍潭，躲進(jìn)瑛姑的小屋。瑛姑出了一道題：數字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及兩條對角線(xiàn)上的和都相等。這道題難倒了瑛姑十幾年，被黃蓉一下子就答出來(lái)了。

　　4 9 2

　　3 5 7

　　8 1 6

　　這就是一個(gè)最簡(jiǎn)單的三階平面魔方矩陣。

　　而今天老唐出的這道題，是更加高難度的五階魔方平面矩陣。

　　運算難度，不知道比三階魔方矩陣高了多少。

　　不過(guò)，魔方矩陣既然被數學(xué)家們定義出來(lái)，那自然有一套起獨特的運算規律。

　　根據N的數值，可以分為三種情況。

　　當N為奇數，當N為4的倍數，當N為其他偶數！

　　老唐這道題是求5階平面魔方，很顯然，可以套用N為奇數的運算規律。

　　程諾在腦海里默默回憶起當N為奇數時(shí)平面魔方的填寫(xiě)規律。

　　“當 N 為奇數時(shí)

　?、賹?放在第一行中間一列;

　?、趶?開(kāi)始直到n×n止各數依次按下列規則存放：

　　按 45°方向行走，如向右上

　　每一個(gè)數存放的行比前一個(gè)數的行數減1，列數減1

　?、廴绻辛蟹秶鼍仃嚪秶?，則回繞。

　　例如1在第1行，則2應放在最下一行，列數同樣減1;

　?、苋绻瓷厦嬉巹t確定的位置上已有數，或上一個(gè)數是第1行第n列時(shí)，

　　則把下一個(gè)數放在上一個(gè)數的下面?！保ㄗⅱ伲?p>　　“所以說(shuō)，正確的答案應該是……”

　　程諾在自己的腦海里構建宮格模型。很快，便將25個(gè)數字填入其中。

　　唰唰唰唰~~

　　在同學(xué)們眼中，只見(jiàn)程諾沒(méi)有任何的猶豫，拿著(zhù)粉筆在黑板上筆走龍蛇，粉屑飛揚。中間沒(méi)有任何停頓，一氣呵成！

　　舉手抬足間，透露著(zhù)無(wú)比強大的自信。

　　“好了，老師，我填完了?！背讨Z轉身，將粉筆頭扔在講桌上，微笑著(zhù)對老唐說(shuō)道。

　　“好，我看一下，你填的對不對？”老唐抱著(zhù)一種好奇心，看向黑板上已經(jīng)被填滿(mǎn)的宮格。

　　 15 8 1 24 17

　　 16 14 7 5 23

　　 22 20 13 6 4

　　 3 21 19 12 10

　　 9 2 25 18 11

　　全部正確??！

　　 25個(gè)數字的位置，和正確答案如出一轍。

　　每一行，每一列，每一條對角線(xiàn)的和，都是65！~

　　老唐驚訝的看了神色如常的程諾一眼。然后在全班同學(xué)滿(mǎn)含期待的目光下宣布，“程諾同學(xué)的答案……是正確的！”

　　嘩~~

　　全班同學(xué)盡皆嘩然。

　　果然啊，程諾這個(gè)家伙，還是一如既往的強悍呀！

　　比不過(guò)，實(shí)在是比不過(guò)。

　　他們和程諾的大腦配置，簡(jiǎn)直不在一個(gè)水平層面上。

　　學(xué)霸，是只配被學(xué)渣所仰望的存在！

　　老唐望著(zhù)程諾說(shuō)道，“既然程諾同學(xué)是第一個(gè)把這道題目解出來(lái)的同學(xué)，那么我那份‘特殊’獎勵就歸程諾同學(xué)所有了。程諾，你能不能給大家講一下你是通過(guò)何種方法把這題解出來(lái)的？”

　　“沒(méi)問(wèn)題?！背讨Z點(diǎn)頭，轉身指著(zhù)那道題道，“其實(shí)這道題很簡(jiǎn)單的?！?p>　　這道題……很簡(jiǎn)單？

　　好吧，你是學(xué)霸，你說(shuō)了算。

　　全班同學(xué)翻翻白眼。

　　程諾聳聳肩，神色如常的繼續講道?！霸谥v這道題之前，我先要給大家講一個(gè)模型，叫做魔方矩陣！”

　　為什么程諾能知道魔方矩陣這個(gè)東西？

　　按理說(shuō)，高中方面，不會(huì )涉及這方面的知識。

　　但程諾是誰(shuí)？他可是學(xué)霸！

　　學(xué)霸的一大特征就是，永遠不會(huì )滿(mǎn)足只學(xué)習課內那點(diǎn)知識！

　　還記得程諾從書(shū)店買(mǎi)回的那一大堆關(guān)于世界數學(xué)難題的書(shū)嗎？其中一個(gè)難題的推理過(guò)程中，就用到了這個(gè)魔方矩陣。程諾就順便將它記下來(lái)了。

　　程諾站在講臺上，將魔方矩陣的三種解法都講了一遍。

　　“聽(tīng)了這個(gè)定理之后，大家是不是覺(jué)得這道題簡(jiǎn)單了許多。首先，第一行中間那個(gè)數字肯定是1，數字2的位置……”

　　講臺下同學(xué)們聽(tīng)得頭暈目眩，不明覺(jué)厲，程諾倒是在講臺上講的津津有味。

　　“好了，我想說(shuō)的就是這些，謝謝大家！”說(shuō)完，程諾走下講臺。

　　啪啪啪~~

　　全班同學(xué)下意識的鼓掌。

　　老唐同志待程諾走下講臺后，站在講桌前一臉尷尬。

　　妹的！把我想要講的都講完了，讓我講啥？！

　　本來(lái)，老唐同志就想利用這個(gè)題目引出魔方矩陣，在高考前發(fā)散一下學(xué)生的思維。

　　可現在……

　　呃……好吧，程諾把魔方矩陣講的比我還詳細，那我這個(gè)當老師的還是不獻丑了吧。

　　“好了。同學(xué)們，我們拿出上周發(fā)的那套衡水真題，我們講一下那套試卷?！崩咸茖擂蔚目人粤艘幌?，也不問(wèn)同學(xué)們有沒(méi)有聽(tīng)懂了，急忙轉移話(huà)題道。

　　“哇，穆冷，程諾果然厲害呢。這樣的題都會(huì )！”蘇小小的明亮的眼里充滿(mǎn)了小星星。

　　穆冷的嘴角微微上揚，“這才是那個(gè)……桀驁的他??！”

　　…………

　　“好了，下課。穆冷，程諾，你們兩個(gè)跟我來(lái)一趟辦公室?！?p>　　伴隨著(zhù)下課鈴聲，老唐剛好把最后一道題講完。

　　程諾和穆冷對視一眼，皆是一頭霧水，不知道老唐找自己有什么事，不過(guò)還是老老實(shí)實(shí)的跟著(zhù)老唐走到辦公室。

　　下樓梯的時(shí)候，程諾湊到穆冷身邊，語(yǔ)氣中略帶擔憂(yōu)的小聲說(shuō)道，“冷姐，你說(shuō)是不是我們兩個(gè)談戀愛(ài)的事被老唐發(fā)現了？”

　　穆冷淡淡的瞥了程諾一眼，一字一頓的開(kāi)口：“你-說(shuō)-呢！”

　　程諾縮了縮脖子，一臉訕訕，“開(kāi)玩笑，開(kāi)玩笑?！?p>　　“不過(guò)，冷姐，我們兩個(gè)的事你真的不再考慮考慮嗎？你看，你是學(xué)霸，我也是學(xué)霸，學(xué)霸配學(xué)霸，我們兩個(gè)可謂是門(mén)當戶(hù)對。生出來(lái)的孩子也一定是學(xué)霸！”程諾握緊雙拳說(shuō)道。

　　穆冷抿了抿嘴唇，模棱兩可的說(shuō)道，“高考后，我們在談?wù)撨@個(gè)問(wèn)題吧?！?p>　　“好，我等你?！背讨Z淡淡一笑。

　　………………

　　注①：魔方矩陣另外兩種情況的算法。（正文字數已達2000字，這不是水字數，這是為了幫助大家學(xué)會(huì )這道題??！請大家理解作者的良苦用心。）

　　(2)當N為4的倍數時(shí)

　　采用對稱(chēng)元素交換法。

　　首先把數1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣

　　然后將方陣的所有4×4子方陣中的兩對角線(xiàn)上的數關(guān)于大方陣中心作中心對稱(chēng)交換（注意是各各子矩陣對角線(xiàn)上面的數），即a(i，j)與a(n+1-i，n+1-j)交換，所有其它位置上的數不變。(或者將對角線(xiàn)不變，其它位置對稱(chēng)交換也可)

　　(3)當N 為其它偶數時(shí)

　　當n為非4倍數的偶數(即4n+2形)時(shí)：首先把大方陣分解為4個(gè)奇數(2m+1階)子方陣。

　　按上述奇數階魔方給分解的4個(gè)子方陣對應賦值

　　上左子陣最小(i)，下右子陣次小(i+v)，下左子陣最大(i+3v)，上右子陣次大(i+2v)

　　即4個(gè)子方陣對應元素相差v，其中v=n*n/4

　　四個(gè)子矩陣由小到大排列方式為①③④②

　　然后作相應的元素交換：a(i，j)與a(i+u，j)在同一列做對應交換(j<t-1或j>n-t+1)，

　　注意其中j可以去零。

　　a(t-1，0)與a(t+u-1，0)；a(t-1，t-1)與a(t+u-1，t-1)兩對元素交換

　　其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交換使每行每列與兩對角線(xiàn)上元素之和相等。

　　…………

　　 PS：解題步驟我已經(jīng)詳細到這種程度了。如果你們再不會(huì )……我也沒(méi)辦法了。